Penantopólis_S
Vejamos, se houver somente uma pessoa com chapéu azul, esta, ao ouvir o estrangeiro, e vendo somente chapéus vermelhos, deduz imediatamente que se deve suicidar.
Se forem duas as pessoas com chapéu azul, chamemos-lhes Ara e Breu, então cada uma delas vê um chapéu azul, pelo que nada sucede na primeira noite. Mas na segunda, a nativa Ara, ao constatar que o Breu não se suicidou, compreende que é azul o seu próprio chapéu. O raciocínio do Breu é análogo. Temos dois suicídios na segunda noite.
O que se passa é que, se houver n pessoas com chapéus azuis, então elas matam-se na n-ésima noite.
A prova faz-se por indução.
Os casos n=1 e n=2 já foram analisados.
Suponhamos que, se houver k ilhéus com chapéus azuis, eles se suicidam à k-ésima noite.
Seja agora a Zorra um dos k+1 portadores de penante azul. Ela vê k chapéus azuis e não sabe se o total é k ou k+1. Mas, no fim da k-ésima noite, nada sucede, e a Zorra compreende que isso se deve ao facto de os k portadores de chapéu azul que ela vê também verem k chapéus azuis (e não k-1, o que sucederia se o seu chapéu fosse vermelho). Assim, na noite seguinte, tanto a Zorra como todos os outros da sua condição se suicidam. QED
O que causa esta vaga de suicídios? Sem a intervenção do Fagundes nada disto sucederia. Mas a sua intervenção é trivial, ele diz algo que todos sabem (se k for maior que 1). Se ele não introduz nada de novo, o que leva as pessoas a matarem-se?
Ilustremos com o caso em que há dois chapéus azuis, dos nativos Ara e Breu. Antes do estrangeiro chegar, a Ara sabia que o Breu tinha um chapéu azul e o Breu sabia que a Ara tinha um chapéu azul. Cada um deles parece saber mais do que a afirmação do Fagundes. Mas o que a Ara não sabia, e passou a saber, é que o Breu sabe que há pelo menos um chapéu azul; de forma semelhante, o Breu aprende do estrangeiro que a Ara sabe que há pelo menos um chapéu azul. Claro que podemos trocar os papéis da Ara e do Breu entre si, o que sucede a um sucede ao outro. Cada um deles passa a poder dizer a qualquer outro: “Agora sei que sabes que há pelo menos um chapéu azul”. É esta a novidade do Fagundes!
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